Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) & \sin (x) \\ e^{x} & - \sin (x) & \cos (x) \\ e^{x} & - \cos (x) & - \sin (x) \end{array}]$

Bước 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Bước 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Bước 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Bước 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Bước 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 1.9

Add the terms together.

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} | - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2

Tính $| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} (- \sin (x) (- \sin (x)) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{x} (1 \sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.1.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$e^{x} (\sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.1.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.1.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} ({\sin (x)}^{1 + 1} - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- \cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - {\cos (x)}^{1 + 1}) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- - \cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + 1 \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.1.3.2

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 2.2.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 3

Tính $| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Bước 4

Tính $| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} (- \cos (x)) - e^{x} (- \sin (x)))$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) - e^{x} (- \sin (x)))$

Bước 4.2.2

Nhân $- e^{x} (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + 1 e^{x} \sin (x))$

Bước 4.2.2.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.3

Nhân $- \cos (x) (- e^{x} \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{x} + 1 \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.3.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.4

Nhân $- \cos (x) (- e^{x} \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + 1 \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.4.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.4.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.4.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Bước 5.1.7

Nhân $\sin (x) (e^{x} \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) e^{x}$

Bước 5.1.7.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) e^{x}$

Bước 5.1.7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} e^{x}$

Bước 5.1.7.4

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (x) e^{x} \sin (x)$ và $- \sin (x) e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} + e^{x} \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - e^{x} \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Bước 5.2.2

Trừ $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ khỏi $e^{x} \cos (x) \sin (x)$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + 0 + \sin^{2} (x) e^{x}$

Bước 5.2.3

Cộng $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x}$ và $0$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Bước 5.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân với $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Bước 5.3.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $\cos^{2} (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Bước 5.3.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $\sin^{2} (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Bước 5.3.4

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x)$ .

$e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Bước 5.3.5

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$ .

$e^{x} (1 + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} (1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 5.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$e^{x} (1 + 1)$

Bước 5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x} \cdot 2$

Bước 5.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$2 e^{x}$